Attesté en 1626 à Geloux (40).

Attesté en 1588 à Tonneins et en 1626 à Labatut (40).

Mon nom de famille est Rooy d’apparence néerlandais (il en existe bien en Hollande). Il est très présent en Dordogne, Lot-et-Garonne et Médoc d’où je suis !
Rooy s’écrivait autrefois Roÿ
Je n’ai guère de piste. La piste hollandaise parait faible pour un nom de lieu qui n’est pas unique : je trouve ce nom de lieu en plusieurs exemplaires en Guyenne non gasconne.
"roi" pour le mot gascon qui veut dire rouge ? Le choix du double "o" est de toute façon bizarre.
"Le Roy" se retrouve dans plusieurs communes voisines du côté des Landes de Cernès :
Budos, Cabanac-Villagrains, Landiras, Origne, Illats.
et aussi une rivière "Le Roy" à Villamblard (24).
Dans tous ces cas, il ne doit pas s’agir du roi.
Serait-ce un nom de rivière, ou même une variante du mot "arrolha" (arrouille) qui est utilisé dans les Landes de Cernès ?

"Beylacq" ou "Beylac" est bien un nom gascon, surtout de Gascogne maritime.
Généralement, les noms en "ac" viennent de noms de domaine gallo-romains, parfois dérivés d’un nom de personne latin.
Dans le cas présent, je ne dispose d’aucune explication.

Attesté en Béarn.
La transcription "Vinçon" est hypothétique (rapport avec Vincent ?).
Voir Vinsonneau/Vinçonèu.

Présent en haut Béarn (Lescun).

Un cas dans le départ 64.

Présent en Bigorre.

Originaire du Béarn. Nom de lòc à Rion-des-Landes.
La terminaison "oy" semble être la terminaison assez courante en gascon, qui se prononce "oï".
A quelle racine s’appliquerait ce suffixe "òi" ? via (voie) ? Dans ce cas, la graphie normalisée serait "Viòi", mais on va se cantonner à "Biòi", en l’absence de preuves solides.

Implanté principalement en pays de Buch et Médoc. C’est une forme périphérique du gascon, la forme plus gasconne étant Lalana/Lalan(n)e.

Ce nom n’est pas spécifiquement gascon, mais est attesté en Gascogne au 17e siècle. Comme nom gascon, il doit se prononcer "Bounét".

La forme "Bounet" est nettement gasconne, et même sud-gasconne.

Présent surtout en Chalosse et sud-Landes.
Semble venir du lòc Napias à Onard (40).
"Napia" (même mot au singulier ?) existe à Lees-Athas (64).
"Nabia" et "(les) Nabias" existent et pourraient être des variantes.
Champ de navets ? Partons sur l’hypothèse "champ de..." qui confirme la terminaison -ar.

Présent en Sud Landes.

Forme peut-être tombée en désuétude mais attestée jusqu’au 19e siècle (Geneanet).

"Impossible d’avoir l’étymologie, ni celle du hameau "Le Mouch" à Calignac ou encore du Mont Mouch dans les Hautes-Pyrénées."

Pas de réponse sûre, listons donc les pistes et les hypothèses !
1) racine latine "modium" (unité de mesure) par analogie avec "podium" :
"podium" a donné "pouch", "puy", "pouey", "pey", "poudge", "puig" en catalan...
Comme dérivés probables de "pouch", on trouve les lòcs "Pouchet", "Pouchan", "Pouchic", comme on trouve "Mouchet", "Mouchan", "Mouchic"...
On trouve aussi "El Muig" (qui doit se prononcer "el moutch") en Catalogne dont le site www.elmuig.com nous dit "el indret El Muig pren el nom de la paraula "muig", una mesura per a cereals, utilitzada a l’época medieval".
"Le Mech" à Bidache, "Mech" à Boudrac (31), "Puech Mech" à Montlaur (12), "le Moueys" à Capian (33), "Mouy" à Toulouzette (40) et à Balma (31) pourraient se rattacher à cette piste. Quoique, pour une montagne ou une colline, l’explication par une unité de mesure parait faible...
Pour la graphie normalisée, Gasconha.com choisit pour l’instant cette hypothèse, qui donne donc "Deumoi" (à prononcer "Doumouÿ").
2) l’hypothèse moth (adjectif "mou") :
Si "bedoth" peut se transcrire "bedouch" , et c’est attesté, "mot" peut se transcrire "mouch"...
Cette hypothèse serait celle d’un terrain mou (humide ?).
En toponymie, une explication d’un nom par la nature du terrain est beaucoupo plus plausible que par une unité de mesure.

Attention, en toponymie, les explications se télescopent parfois :
l’attraction d’un mot proche phonétiquement peut modifier sa prononciation...