Dans sa partie basse, cette rue a eu plusieurs noms : rue Bédignon, rue du Pey-Salat, rue de la Font-Neuve au XVIème siècle.

Dans une hypothétique renaissance gasconne, je propose que l’on garde le nom de rue Fonneuve à ce qui est aujourd’hui la Rue Montesquieu (autrefois Haute Rue Fonneuve) pour récupérer le nom de Pey-Salat (qui donnait sur la Porte Bédignon, du coup l’on pourrait donner ce nom au quai adjacent, qui est le quai du Général d’Amade).