FANTOIR : rue de Barrail ; barrail étant un mot dont le sens est connu, très courant dans la toponymie, et peut être considéré presque comme un nom commun. Mettre l’article (Le Barrail) est en général plus indiqué, et dans le cas présent "rue du Barrail" !

Mais la BAN est meilleure : Rue du Barail