C’est bien que les plaques de rue expliquent leur nom !
Ici, "Maye de Bernet" (Maye du Bernet correspondrait mieux aux attestations anciennes*) est expliqué ainsi : Ancien esteys aujourd’hui canalisé ; rien à objecter, sauf le s final à estey !
La Maye de Bernet se continue par L’Estey de la Moulinate. L’IGN trace bien ce cours d’eau, totalement enterré jusqu’à son embouchure en Garonne. (Bègles)
L’Estey de la Moulinate
L’Eau bourde - l’Aiga borda / l’Aygue bourde

Bernet est un grand classique gascon : maye est moins évident.
"màger" veut dire "principal" en occitan. Une "màger" (prononcer "maïe") serait le bras principal d’un cours d’eau qui en a plusieurs. (proposition de A. Champ)

*Cad. napo. B2 : le May deau Bernet (on distingue dau = du)