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Attention, le "r" final ne se prononce pas en général en graphie occitane normalisée.
Prononcer "haou" ou "aou" est une diphtongue.

hauressa (prononcer "hoouresso") : hauresse, femme de forgeron [Fauché, dialecte gascon de Tonneins] ?
En toponymie, on peut envisager des confusions entre hauresse, fauresse et (a)horest (forêt...). ahorest

Prononcer "haou" ou "aou" est une diphtongue.
Autres formes gasconnes :
hai (prononcer "haÿ")
hac (moins répandu ; écrit éventuellement "hag", notamment en graphie fébusienne ; plus proche de la racine latine fagusprononcer "hac" ; )
havoth, havora (prononcer "habouth, haboure" - le premier est masculin, l’autre féminin)
"haboure sf. Hêtre (fagus sylvatica). V. habout. Syn. hag, hau, hay." [Palay]
Multidiccionari francés-occitan
havoret (prononcer "habourét")
diminutif (mais surtout collectif : bois de hêtres) : haget et aussi haveda (prononcer "hawéde", "hawédo"...) : Bois planté de hêtre
"Se trouve dans les Pyrénées (forêt d’Iraty...), quelques localités reliques en Chalosse, Lot et Garonne…
Arbre pouvant atteindre 40 à 50 m, et vivre jusqu’à 500 ans.
Fruit : la faine, appréciée par les porcs ; on en tirait également de l’huile alimentaire.
Distillé à sec, le bois fournit la créosote.
Bois d’œuvre recherché (menuiserie, chaises…)"
[Gilles Granereau]

Le hau/hai a été important dans la Gascogne d’hier, si on en juge par le nombre des noms de lieu (et donc de personne) qui contiennent ce mot.

En plus de la signification "pied = partie du corps humain", apparait souvent dans les noms de lieu pour désigner le bas (ou même le commencement ?) d’un élément du paysage.

Pèir Berland defenot la libertat de Bordèu !

Dérivés :

Dérivés ou variantes [Alis-Aiguillon] : Peyre Peyroton Peychot

Futurs parents amoureux de Bordeaux et de sa région, vous souhaitez que votre fils s’attache lui aussi à ce pays et défende ses couleurs...
Appelez-le Pey ou Pèir* !
C’est "Pierre" en gascon de la région de Bordeaux.
C’est le prénom de Pey Berland, homme d’Etat, homme du peuple, homme de coeur et homme de religion, qui a défendu la liberté de Bordeaux contre le roi de France.

*"Pèir" est la graphie occitane normalisée de "Pey".
Il s’agit d’un seul et unique prénom qui se prononce " Pèÿ ".

La forme "Pey" est plus connue, et attestée officiellement. Vous n’aurez aucune difficulté à la faire enregistrer par l’Etat Civil : sinon, il devrait suffire d’invoquer Pey Berland et les multiples "Saint Pey" de la région...

La forme graphique Pèir, plus moderne et audacieuse, est moins évidente à prononcer pour la majorité des gens.
Il vous faudra donc faire, si vous la choisissez, l’effort pédagogique pour qu’ils ne prononcent pas "Pèrr"...

Pèir est la version nord-gasconne (en gros, département de la Gironde nord du département des Landes) de "Pèr" (ne pas prononcer le "r") qu’on trouve dans le reste de la Gascogne (voir les multiples "Saint Pé...").

A noter pour finir : le gascon permet une forme féminine différente du masculin, "Pèira", à prononcer entre "Pèïre" et "Pèïro". Profitons-en ?-)