La notice biographique de François Bayrou, sur Wikipédia, indique :

"Ses ascendants sont Béarnais, sauf sa grand-mère maternelle, Amélie Dorgan qui était d’origine irlandaise et par qui il est parent du poète irlandais Theo Dorgan (en)."

Un lien vers un article en anglais explique alors, sur la seule foi du patronyme Dorgan, que François Bayrou serait d’origine irlandaise ...

Une recherche plus sérieuse, sur les sites de généalogie, montre nettement que l’ancêtre Dorgan était originaire du Magnoac, entre Hautes-Pyrénées et Haute-Garonne : Dorgan sur Geneanet.

Un Pierre Dorgan dit Sarraquigne va s’installer au début du XIXème siècle à Soumoulou, en Béarn, comme marchand-chiffonnier, et y épouser une fille d’Espoey : ses descendants feront des alliances avec d’autres familles béarnaises.

Il n’y a donc nullement d’ascendance irlandaise, juste une généalogie béarnaise typique, qui fait la preuve des migrations internes à la zone du piémont pyrénéen.

Quant à la signification du patronyme Dorgan, c’est tout simplement "de + Organ", au sens de "originaire d’Organ", Organ étant une paroisse du Magnoac, probable toponyme latin en -anum !