La Carte d’état major du 19e siècle donne peut-être la solution de l’énigme : Moulin de Gratte qui n’a (qui était dans l’Ile de Blanquefort, que le Cadastre napoléonien nomme "Lile de Grate Quina").
L’IGN 1950 donne aussi "Gratte qui n’a" (ancien moulin, et château).
Nom français ? peut-être pas tout à fait : en gascon : grate qui n’a/grata qui n’a, c’est "gratte qui en a".

https://ostau-occitan.org/toponymie : « gratte qui en a, surnom d’une mauvaise terre. »

https://www.grattequina.com/fr/hotel/histoire-chateau/ :
« Lieu-dit formé à partir de l’île de Blanquefort, le nom de Grattequina est mentionné sur le cadastre de 1806 et écrit Gratte Qui N’a sur le plan de 1843. Ce nom lui vient de la tendance argileuse de sa terre, chargée des alluvions du fleuve. Il fallait ainsi beaucoup gratter le sol pour le cultiver. »