Prononcer "Batejïn" ou plutôt "Batején" ?
Sur le cadastre napoléonien (sauf erreur, Section D Feuille 3 Le Bourg), on trouve une mention difficile à lire, mais qui se termine par "gen".

Un nom de ruisseau qui ressemble, en Bordelais : « le Batijean*, devient le Rieufret (qui a laissé son nom à la commune de Saint-Michel-de-Rieufret) »
https://fr.wikipedia.org/wiki/Barboue

* On peut supposer que la graphie "Batijean" est fautive, et que c’est simplement "Batijan".