BBF propose un radical latin ancrae "vallon", "intervalle entre des arbres" associé au suffixe latin -icia, de la même famille que l’allemand anger "pâturage".
Cela conviendrait à ce secteur qui était loué aux bergers pyrénéens. Cela dit, entre le terme latin et le terme allemand, il n’y a pas vraiment identité de sens, en dépit d’une base commune.

A mon avis, sur le modèle de Candresse qui a des homonymes presque exacts au Pays Basque sous la forme Ganderatz, nombre de toponymes landais en -esse s’expliquent par le basque.
D’ailleurs, l’environnement bascoïde d’Angresse est prégnant : Orx, Navachon, Biaudos, Ondres (Ondarratz), Gosse, Hossegor, Tyrosse, Tosse, Josse, ...

Ainsi, il me semble assez probable qu’Angresse soit tiré d’un étymon basque qui pourrait être : angelu ("terrain bas") + suffixe locatif -atz + déterminant -a.

angeluatza > angeratza
(confusion des latérales vibrantes très classique en basque et assimilation de u : cf Gamarthe, autrefois gamoarte)

ange’ratza > angressa/engressa

Le toponyme d’Angresse serait donc de même sens qu’Anglet dont les situations de pacages au bord de l’Adour étaient assez semblables.