Prononcer "Baríncou", donc en mettant l’accent tonique sur "rin".

Vincent.P nous informe :
"Des Barincou sont attestés en 1759 à Lescar et en 1621 à ...Barinque !
D’ailleurs Barinque est attesté Barinco en 1402 (autrement dit, Barincou après le passage de o>ou).

La racine pré-latine barenc- (ravin) est très fréquente dans le monde pyrénéen.
Barincou n’a donc rien de spécialement béarnais même s’il est porté par des familles béarnaises (probablement sans lien de parenté avec les autres Barincou de Haute-Garonne).
NB :
http://laurent.bourdalle.free.fr.

Attention, l’accent tonique authentique n’est donc pas sur le "ou" final, ce qui est incompatible avec la phonologie française.