Il est rarissime que le a final atonique se soit maintenu à l’écrit dans un nom de famille en Gascogne ; il faut donc envisager l’hypothèse bordar plutôt que bòrda.
Autres hypothèses :
– une relatinisation de Borde
– une origine basque puisque Borda s’est maintenu à l’écrit au Pays basque.

Un cas :
« Jeanne DE BORDA (BOURDA)
Née - Salles-Mongiscard, 64300, Pyrénées Atlantiques, Aquitaine, France
Décédée avant 1668 - Baigts-de-Béarn, 64087, Pyrénées Atlantiques, Aquitaine, France »
https://gw.geneanet.org/gsouviraal?n=de+borda+bourda&oc=&p=jeanne
Si c’était une forme archaïque Borda, on n’aurait pas l’hésitation "Borda(Bourda)", parce que l’accent tonique serait resté sur bor, donc pas de mutation de bor en bour... (sauf aller et retour avec le pays basque ?)

Voir aussi Marie BRANE dite DUBORDA