Origine de ma famille à Lectoure.
Ancêtres retrouvés jusqu’en 1750.
Tosti : "Nom surtout porté dans le Gers. Désigne sans doute le fils de l’hôte (celui qui tient une auberge)."

Cette explication ne me satisfait pas. Le modèle "De + fonction" me parait peu gascon.

La recherche de toponymes dans la base de l’IGN donne des Doste, justement en Gascogne :

"Doste" à Layrac (47) et Uglas (65)-
"Le Doste" à Castets (40) ; attention, en "parlar negue" des Landes, l’article féminin "la" se prononce et s’écrit souvent "le". C’est donc en fait très probablement "La Dòsta" en graphie occitane normalisée.

Je trouve aussi "Lendoste" à Lagor (64).

"Doste" a probablement la même origine que "Douste". Le "s" final n’est pas forcément significatif.
Je ferais plutôt l’hypothèse d’un nom gascon très ancien, même peut-être vascon (d’après la terminaison "oste").