Cassini indique le lieu "Barenne" un peu à l’écart du bourg, apparemment au nord-est du bourg, au début de la route qui descend maintenant verts Arzacq.

L’IGN indique "les pentes de Barène", mais pas au même endroit que Cassini indique pour Barenne.
La conformation du lieu IGN va dans le sens d’une étymologie barenc/ravin qui n’est pas celle que je privilégie à ce jour. Mais si le lieu était plutôt là où Cassini l’avait situé... et même en bas du ravin ?

Une attestation généalogique, de chez Geneanet :
Grace Constance COUSTAU-BARENNE (de) COUSTAU-PROUERES
Née le 11 mars 1736 (dimanche) - Pimbo,40320,Landes,Aquitaine,FRANCE
Décédée le 18 septembre 1803 (dimanche) - Pimbo,40320,Landes,Aquitaine,FRANCE,Barenne , à l’âge de 67 ans
Héritière de la noble maison des Prouères-Theaux, seigneurs de Barenne

Le Dictionnaire historique des Landes de Philippe Soussieux écrit ceci, au début d’une notice détaillée sur cette lignée :
Le "Dictionnaire historique des Landes" de Philippe Soussieux
« Barenne. Ou Barhène. Château à Pimbo, seigneurie et maison noble. La seigneurie fut divisée en deux : Barenne Jusan et Barenne Soubiran. »
La graphie Barhene ouvre la porte à une origine basque soulétine du nom ; dans ce cas, ce toponyme Barenne aurait été amené à Pimbo par cette famille noble, et serait à enlever de notre série gasco-guyennaise.